Question

（2012•湖南）函數(shù)f（x）=sin （ωx+φ）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn)．
（1）若φ=

π

6

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

3 3

2

），則ω=

3

；
（2）若在曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為

π

4

．

Answer 1

分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再將φ=

π

6

，f′（0）=

3 3

2

代入導(dǎo)函數(shù)解析式，即可解得ω的值；
（2）先利用定積分的幾何意義，求曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域面積，再求三角形ABC的面積，最后利用幾何概型概率計(jì)算公式求面積之比即可得所求概率

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin （ωx+φ）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ=

π

6

，過點(diǎn)P（0，

3 3

2

），
∴ωcos

π

6

=

3 3

2

∴ω=3
故答案為 3
（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域面積為

∫	3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

[-f′（x）]dx=-f（x）

|	3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

=-sin

3π

2

-（-sin

π

2

）=2
三角形ABC的面積為

ω× π ω

2

=

π

2

∴在曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為P=

π 2

2

=

π

4

故答案為

π

4

點(diǎn)評：本題主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，定積分的幾何意義，幾何概型概率的計(jì)算方法，屬基礎(chǔ)題