Question

設(shè)a∈（0，1）∪（1，+∞），對任意的x∈(0，

1

2

]，總有4^x≤log_ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

[

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：對任意的x∈(0，

1

2

]，總有4^x≤log_ax恒成立，則在0≤x≤

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2

時，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標系中，分別畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），
當0＜x≤

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2

時，函數(shù)y=4^x的圖象如下圖所示：

∵對任意的x∈(0，

1

2

]，總有4^x≤log_ax恒成立，若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（

1

2

，2）點時，
a=

2

2

，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足

2

2

≤a＜1．
故答案為：[

2

2

，1）．

點評：本題以指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．