Question

（2013•聊城一模）已知函數(shù)g（x）=ax-2lnx
（I）若a＞0，求函數(shù)g（x）的最小值
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=g（x）-

a

x

在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)g（x）的最小值；
（II）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得g′（x）=

ax-2

x

∵a＞0
∴x∈（0，

2

a

）時，g′（x）＜0；x∈（

2

a

，+∞），g′（x）＞0
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

2

a

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

2

a

，+∞），
∴函數(shù)在x=

2

a

時，取得極小值，即為最小值，最小值為g（

2

a

）=2-2ln

2

a

；
（II）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

ax2-2x+a

x2

①若f′（x）≥0，則ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

2x

x2+2

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

≤1，∴a≥1，此時函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②若f′（x）≤0，則ax²-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜

2x

x2+2

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

＞0，∴a≤0，此時函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上，a≥1或a≤0．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．