Question

【題目】已知向量，，，其中0<α<x<π.

（1）若α＝，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)x的值；

（2）若與的夾角為，且，求tan 2α的值．

Answer 1

【答案】(1) 最小值為，相應(yīng)的值為； （2） .

【解析】

（1）根據(jù)向量點乘表示出函數(shù)f（x）的解析式后令t=sinx+cosx轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解題．
（2）根據(jù)與的夾角為 ，確定 ，再由可知向量整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再將代入即可得到答案．

(1)∵b＝(cos x，sin x)，

c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

∴f(x)＝b·c

＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α

＝2sin xcos x＋ (sin x＋cos x)．

令t＝sin x＋cos x，

則2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<.

則y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，

∴當t＝－時，ymin＝－，此時sin x＋cos x＝－，

即sin＝－，

∵<x<π，∴<x＋<，

∴x＋＝，∴x＝.

∴函數(shù)f(x)的最小值為－，相應(yīng)x的值為.

(2)∵a與b的夾角為，

∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.

∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，

∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.

∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.