Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A、B在橢圓x²+3y²=4上，C在直線(xiàn)l：y=x+2上，AB∥l，∠ABC=90°．當(dāng)斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí)，求AB所在直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立即可得到△＞0、根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到弦長(zhǎng)|AB|，利用平行線(xiàn)之間的距離公式可得|BC|的長(zhǎng)，再利用勾股定理可得|AC|²=|AB|²+|BC|²，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0． 
∵A、B在橢圓上，∴△=-12m²+64＞0．    
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2[(- 3m 2 )2-4× 3m2-4 4 ]

=

32-6m2

2

．
又∵BC的長(zhǎng)等于點(diǎn)（0，m）到直線(xiàn)l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
∴當(dāng)m=-1時(shí)，AC邊最長(zhǎng)，（這時(shí)△=-12+64＞0）
此時(shí)AB所在直線(xiàn)的方程為y=x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與橢圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了推理能力、計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．