Question

（2012•蚌埠模擬）已知兩定點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得|PM|-|PN|=2，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“A型直線(xiàn)”，給出下列直線(xiàn)：
①y=x+1   ②y=

3

x+2  ③y=-x+3   ④y=-2x
其中是“A型直線(xiàn)”的序號(hào)是（　�。�

A．①④

B．③④

C．②③

D．①③

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可求得點(diǎn)P的軌跡方程，從而可利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合新定義“A型直線(xiàn)”即可獲得答案．

解答：解：∵兩定點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），直線(xiàn)上存在點(diǎn)P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)，其中2a=2，2c=4，
∴點(diǎn)P的軌跡方程方程為：x²-

y2

3

=1（x≥1），
∴其漸近線(xiàn)方程為：y=±

3

x，
∵①y=x+1經(jīng)過(guò)（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點(diǎn)，
∴該直線(xiàn)是“A型直線(xiàn)”；
對(duì)于②，∵y=

3

x+2經(jīng)過(guò)（0，2）且斜率k=

3

，顯然該直線(xiàn)與其漸近線(xiàn)方程y=

3

x平行，該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，
∴該直線(xiàn)不是“A型直線(xiàn)”，即②不符合；
對(duì)于③，∵y=-x+3 經(jīng)過(guò)（0，3）且斜率k=-1＞-

3

，
∴該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點(diǎn)，故③符合；
同理可得，④y=-2x的斜率k=-2＜-

3

，
∴該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x²-

y2

3

=1（x≥1）無(wú)交點(diǎn)，
綜上所述，①③符合．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的概念與性質(zhì)，考查其漸近線(xiàn)方程的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想與分析應(yīng)用能力的考查，屬于中檔題．