Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0）且a≠1），若數(shù)列2，f（a₁，f（a₂，…f（a_n），2n+4，…（n∈N^*），成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b_n=4b_n-1+a_n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得結(jié)論；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）的公差為d，
∴2n+4=2+（n+2-1）d，∴d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2，（5分）
（2）∵b_n=4b_n-1+a_n-1，∴bn=4bn-1+4n，
∴

bn

4n

=

bn-1

4n-1

+1，∴

bn

4n

-

bn-1

4n-1

=1，
∴

bn

4n

=1+(n-1)×1，
∴bn=n4n，
∴Sn=1•41+2•42+3•43+…+n4n，①
∴4Sn=1•42+2•43+3•44+…+n4n+1，②
①-②得：-3Sn=41+42+43+…+4n-n4n+1，
∴Sn=

(3n-1)4n+1+4

9

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．