Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）+cos（

π

3

-2x）-1，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； 
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）該函數(shù)的圖象可以由y=sinx的圖象怎樣變換得到？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理后，利用三角函數(shù)的周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）利用（1）中函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)取最大值和最小值時，x的值．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（4）y═sinx向左平移

π

6

單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴大為原來的4倍數(shù)；最后向上平移1個單位．

解答：解：（1）f（x）=3sin（2x+

π

6

）+cos（

π

3

-2x）-1
=3sin（2x+

π

6

）+cos[

π

2

-（

π

6

+2x）]-1
=3sin（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

6

）-1=4sin（2x+

π

6

）-1
函數(shù)的周期為T=

2π

2

=π

（2）當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

6

+kπ，k∈Z時，y_max=3
當(dāng)2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

3

+kπ，k∈Z時，y_min=-5

（3）單增區(qū)間：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
即x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z
（4）y═sinx向左平移

π

6

單位y=sin（x+

π

6

）縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)縮小為原來的一半y=sin（2x+

π

6

）橫坐標(biāo)不變，
縱坐標(biāo)擴大為原來的4倍數(shù)y=4sin（2x+

π

6

）
向上平移1個單位y=4sin（2x+

π

6

）+1

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的基本性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象變換．