Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0、且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{c_n}對任意自然數(shù)n均有：

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立、求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)a₁和d，求出a₂、a₅、a₁₄再根據(jù)a₂、a₅、a₁₄是等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；根據(jù)數(shù)列{a_n}求出b₂，b₃，即可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）當n≥2時，根據(jù)a_n+1-a_n，求出數(shù)列{c_n}通項公式，但當n=1時，不符合上式，因此數(shù)列{c_n}是分段數(shù)列；然后根據(jù)通項公式即可求出結果．

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂、a₅、a₁₄成等比數(shù)列
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）即d=2∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
又∵b₂=a₂=3，b₃=a₅=9、∴q=3，b₁=1，b_n=3^n-1
（2）∵

C1

b1

+

C2

b2

++

Cn

bn

=an+1①
∴

C1

b1

=a2即C₁=b₁a₂=3
又

C1

b1

+

C2

b2

++

Cn-1

bn-1

=an   (n≥2)②
①-②：

Cn

bn

=an+1-an=2
∴C_n=2•b_n=2•3^n-1（n≥2）
∴Cn=

3          (n=1) 2•3n-1   (n≥2)

∴

C1+C2+ C   3 ++C2010=3+2•31+2•32++2•32010-1 =3+2•(31+32+33++32009)=3+2• 3(1-32009) 1-3 =32010

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的求法，對于復雜數(shù)列的前n項和求法我們一般先求出數(shù)列的通項公式，再依據(jù)數(shù)列的特點采取具體的方法．