Question

已知橢圓(a>b>0)的左焦為F,右頂點為A,上頂點為B,O為坐標原點,M為橢圓上任意一點,過F,B,A三點的圓的圓心為(p,q).
(1).當p+q≤0時,求橢圓的離心率的取值范圍;
(2).若D(b+1,0),在(1)的條件下,當橢圓的離心率最小時,的最小值為,求橢圓的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查直線和圓的方程、橢圓的方程、離心率、向量的運算、二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運算求解能力、推理論證能力以及利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的解題能力.
第一問，利用AF、AB的中垂線的交點為圓心，得到圓心坐標，由已知令，解出a，c的關(guān)系，從而求離心率e的范圍；第二問，結(jié)合第一問得，則得出基本量a，b，c的關(guān)系，設出橢圓方程，用c表示，并確定點M的橫坐標的取值范圍，利用向量的數(shù)量積，得出關(guān)于x的表達式，利用配方法，通過討論拋物線的對稱軸與的大小來決定最小值在哪個位置取得，令最小值等于，解出c的值，從而確定橢圓的標準方程.
試題解析：（1）設半焦距為.由題意的中垂線方程分別為，
于是圓心坐標為.所以，
整理得，                 4分
即，
所以，于是，即.
所以，即.                 6分
（2）當時，，此時橢圓的方程為，
設，則，
所以.       8分
當時，上式的最小值為，即，得；    10分
當時，上式的最小值為，即，
解得，不合題意，舍去.
綜上所述，橢圓的方程為.              12分
考點：直線和圓的方程、橢圓的方程、離心率、向量的運算、二次函數(shù)的最值.