Question

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M（2，1），直線l平行OM，且與橢圓交于A、B兩個不同的點．
（1）求橢圓方程；
（2）若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M（2，1），建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)l方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及∠AOB為鈍角，結(jié)合向量知識，即可求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（3）依題即證k_AM+k_BM=0，利用韋達定理代入，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，依題意可得

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

…2分
可得

a2=8 b2=2

，所以橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1….4分
（2）解：設(shè)l方程為：y=

1

2

x+m，與橢圓方程聯(lián)立得：x²+2mx+2m²-4=0
由韋達定理得：x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4…6分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為∠AOB為鈍角，所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(

1

2

x1+m)(

1

2

x2+m)
=

5

4

x1x2+

m

2

(x1+x2)+m2=

5

2

m2-5＜0…7分
又直線l平行OM，∴m∈(-

2

，0)∪(0，

2

)….8分
（3）證明：依題即證k_AM+k_BM=0…9分
而kAM+kBM=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(x1-2)(y2-1)

(x1-2)(x2-2)

..…10分
將y1=

1

2

x1+m，y2=

1

2

x2+m代入上式，得kAM+kBM=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

….12分
將（2）中韋達定理代入得，上式=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
即證．…14分

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．