Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x•2^x+x，A₀為坐標(biāo)原點(diǎn)，A_n為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標(biāo)為n（n∈N^*）的點(diǎn)，向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

，i=（1，0），設(shè)θ_n為a_n與i的夾角，則

n

k=1

tanθk=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意先求出A_n與A_n-1的坐標(biāo)，然后表達(dá)出

An-1An

，進(jìn)而求出向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

=（n，n•2ⁿ+n），最后根據(jù)題意求出tanθ_n=2ⁿ+1與

n

k=1

tanθk，即可得到答案．

解答：解：由題意可得：A_n為（n，n2ⁿ+n），所以A_n-1為（n-1，（n-1）•2^n-1+（n-1）），
所以

An-1An

=（1，（n+1）•2^n-1+1）．
設(shè)bn=（n+1）2^n-1，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n•2ⁿ．
所以向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

=（n，n•2ⁿ+n）．
因?yàn)閕=（1，0），
所以θ_n即為向量a_n與x軸的夾角，
所以tanθ_n=2ⁿ+1，
所以

n

k=1

tanθk=(2+22++2n+n)=2n+1+n-2．
故答案為2ⁿ⁺¹+n-2．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂題意寫出向量的坐標(biāo)形式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式與向量的夾角表示，即可解決問題．