Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線，直線，直線的斜率分別為，且成等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)在橢圓上，滿足的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）由離心率公式及基本量運(yùn)算可得，從而得方程；設(shè)直線的方程為，由，得，由已知，利用韋達(dá)定理帶入可得；

（2）假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，且設(shè)，由，得，代入橢圓方程得：，整理得，由韋達(dá)定理帶入可得，可知直線不存在.

詳解：（1）由已知得，則，

故橢圓的方程為；

設(shè)直線的方程為，

由，得，

則，

由已知，

則，即，

所以；

（2）假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，且設(shè)，

由，得，

代入橢圓方程得：，

即，

則，即，

則，

所以，

化簡(jiǎn)得：，而，則，

此時(shí)，點(diǎn)中有一點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)（或下頂點(diǎn)處），與成等比數(shù)列相矛盾，故這樣的直線不存在.