Question

設(shè)F（1，0），點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且=2，=0；
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列，當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出N的坐標(biāo)，確定，的坐標(biāo)，利用=0，可得點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）先確定線段AD的垂直平分線的斜率、AD的斜率，可得方程，利用點(diǎn)B在拋物線上，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)N（x，y），由=2，得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，∴P（0，），M（-x，0），
∴=（-x，-），=（1，-）．
由=-x+=0，得y²=4x．
即點(diǎn)N的軌跡方程為y²=4x．
（2）由拋物線的定義，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵，，成等差數(shù)列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=．
∵線段AD的中點(diǎn)為（，），且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0），
∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=．
又k_AD=，∴•=-1，
即=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，又x₂=，∴x₂=1．
∵點(diǎn)B在拋物線上，
∴B（1，2）或（1，-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查等差數(shù)列，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．