Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x－6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
(Ⅰ)求圓C的方程；
(Ⅱ)試判斷是否存在斜率為1的直線，使其與圓C交于A， B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）該直線存在，其方程為.

試題分析：（Ⅰ）曲線與軸的交點(diǎn)為，
與軸的交點(diǎn)為，
故可設(shè)的圓心為，
則有，
解得
則圓的半徑為，
所以圓的方程為               4分
（Ⅱ）假設(shè)直線存在，依題意，設(shè)直線方程為，
并設(shè)，
由，消去
得到方程
由已知可得，判別式
因此，
從而，   ①
由于，可得
又，
所以    ②
由①，②得，滿足
所以該直線存在，其方程為           8分
點(diǎn)評：中檔題，中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用圓中的“特征三角形”，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題，更為簡潔。對存在性問題，常常是先假設(shè)存在，應(yīng)用已知條件，確定其存在性，達(dá)到解體目的。本題較難。