Question

【題目】離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，求出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，理由見(jiàn)解析；圓的方程為；.

【解析】

（1）利用離心率和橢圓所過(guò)點(diǎn)聯(lián)立方程組可求橢圓的方程；

（2）先假設(shè)存在符合要求的圓，利用求出圓的切線，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，利用基本不等式求解范圍.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以；

又離心率為，所以，結(jié)合可得，

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且，設(shè)圓的切線方程為，.

聯(lián)立得，

即.

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，即；

因?yàn)閳A的切線方程為，所以圓的半徑為，，所求圓的方程為.

由及可得，即或；

當(dāng)圓的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，切線與橢圓的交點(diǎn)為或者，均滿足.

綜上可知，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且.

因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)時(shí)，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值3；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于或者此時(shí).

綜上可知，.