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          如圖,軸截面為邊長為等邊三角形的圓錐,過底面圓周上任一點作一平面α,且α與底面所成二面角為,已知α與圓錐側面交線的曲線為橢圓,則此橢圓的離心率為( )

          A.
          B.
          C.
          D.
          【答案】分析:設軸截面為SEF,橢圓中心為0、長軸為FH,延長S0交EF于點B,取SB中點G,連結GH.設OC是橢圓的短半軸,延長SC交底面圓于點A,連結AB.根據正△SEF中∠HEF=∠SEF得FH⊥SE,算出FH=6,即橢圓的長軸2a=6.利用△SBE的中位線和△OBF≌△OGH,算出BF=EF=,從而在底面圓中算出AB=,進而在△SAB中,利用平行線分線段成比例,得OC=AB=,即橢圓短半軸b=.最后由橢圓的平方關系算出c=,從而可得該橢圓的離心率.
          解答:解:設圓錐的頂點為S,軸截面為SEF,過F的一平面α與底面所成角為,α與母線SE交于點H,
          α與圓錐側面相交所得的橢圓中心設為0,延長S0交EF于點B,取SB中點G,連結GH
          設OC是橢圓的短半軸,則OC⊥平面SEF,延長SC交底面圓于點A,連結AB
          ∵△SEF是等邊三角形,∠HEF就是α與底面所成角
          ∴由∠HEF==∠SEF,得FH⊥SE
          Rt△EFH中,FH=EFcos=4×=6,即橢圓的長軸2a=6
          ∵GH是△SBE的中位線,得GHBE
          ∴結合△OBF≌△OGH,得BF=GH=BE,可得BF=EF=
          設M為底面圓的圓心,則可得BM=EF=
          ∴⊙M中,可得AB===
          ∵△SAB中,OC∥AB且
          ,可得OC=AB=,橢圓的短半軸b=
          因此,橢圓的半焦距c==,橢圓的離心率e==
          故選:C
          點評:本題給出圓錐的軸截面為正三角形,求與底面成30度角的平面截圓錐的側面所得橢圓的離心率.著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質、圓錐的幾何性質和平面幾何有關計算等知識,屬于中檔題.
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          3
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          π
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          A.           B.             C.             D.

           

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          (2)證明:平面⊥平面

           

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