Question

【題目】如圖，為信號(hào)源點(diǎn)，、、是三個(gè)居民區(qū)，已知、都在的正東方向上，，，在的北偏西45°方向上，，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)點(diǎn)鋪設(shè)一條總光纜直線（在直線的上方），并從、、分別鋪設(shè)三條最短分支光纜連接到總光纜，假設(shè)鋪設(shè)每條分支光纜的費(fèi)用與其長(zhǎng)度的平方成正比，比例系數(shù)為1元/，設(shè)，（），鋪設(shè)三條分支光纜的總費(fèi)用為（元）.

（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求的最小值及此時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

(1)對(duì)直線的斜率是否存在分類(lèi)討論，求出三點(diǎn)到直線的距離，鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用即可求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(2)由（1）中的表達(dá)式利用換元法，利用基本不等式，可求的最小值及此時(shí)的值．

(1) 以點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)系,

則，

當(dāng)直線的斜率不存在，即時(shí)，

三點(diǎn)到直線的距離分別為10，20，5

所以此時(shí)=,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，,

三點(diǎn)到直線的距離分別為:，

所以

.

所以

(2) 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，=,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)，

當(dāng)即時(shí)，=.

當(dāng)即時(shí)，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))

當(dāng)時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))

所以的最小值為

此時(shí).