Question

已知橢圓的上、下頂點分別為是橢圓上兩個不同的動點．
(I)求直線與交點的軌跡C的方程；
(Ⅱ)若過點F(0，2)的動直線z與曲線C交于A、B兩點，問在y軸上是否存在定點E，使得?若存在，求出E點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）方法一：設(shè)直線與的交點為，
∵是橢圓的上、下頂點，
∴…………………1分
，，
兩式相乘得.………………………3分
而在橢圓（）上，
所以，即，所以.……………4分
又當(dāng)時，不合題意，去掉頂點.
∴直線與的交點的軌跡的方程是；……………5分
方法二：設(shè)直線與的交點為，
∵是橢圓的上、下頂點，
∴…………………1分
∵共線，共線，
∴…………①                               
…………②…………………3分
①②得，
又∵即，
∴，即，
∴直線與的交點的軌跡的方程是；（）……………5分
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線，由已知，其斜率一定存在，設(shè)其斜率為，
設(shè)，， ，
由得，
.…………………6分
，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，
，
又∵，∴，
∴，
即.………………………8分
將，，代入上式并整理得，…………………9分
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，恒成立，
…………………11分
所以，
在軸上存在定點，使得，點的坐標(biāo)為．………12分

略