Question

已知平面上三個向量

a

，

b

，

c

的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°．
（1）求證：(

a

-

b

)⊥

c

；
（2）若|k

a

+

b

+

c

|＞1 （k∈R），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的分配律及向量的數量積公式求出(

a

-

b

)•

c

；利用向量的數量積為0向量垂直得證．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數量積公式將已知等式平方得到關于k的不等式求出k的范圍．

解答：解：（1）證明∵(

a

-

b

)•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

=|

a

|•|

c

|•cos120°-|

b

|•|

c

|•cos120°=0，
∴(

a

-

b

)⊥

c

．
（2）解|k

a

+

b

+

c

|＞1?(k

a

+

b

+

c

)2＞1，
即k2 

a

2 +

b

2+

c

2+2k

a

•

b

+2k

a

•

c

+2

b

•

c

＞1．
∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，且

a

，

b

，

c

相互之間的夾角均為120°，
∴

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

•

b

=

b

•

c

=

a

•

c

=-

1

2

，
∴k²+1-2k＞1，即k²-2k＞0，
∴k＞2或k＜0．

點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數量積公式．