Question

已知集合是正整數(shù)的一個排列，函數(shù)
 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列．
（Ⅰ）當(dāng)時，寫出排列的生成列；
（Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；
（Ⅲ）對于中的排列，進行如下操作：將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：新的排列的各項滿意指數(shù)之和比原排列的各項滿意指數(shù)之和至少增加．

Answer 1

（Ｉ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：弄懂已知條件“對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．”是解題的關(guān)鍵；把握第(I)問，由特殊到一般，才能順利求（II）(III).
試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)時，排列的生成列為．             3分
（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．
從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個不同的項為與，即：，，，，．
顯然 ，，，，下面證明：．          5分
由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項中比小的項的個數(shù)減去比大的項的個數(shù)．由于排列的前項各不相同，設(shè)這項中有項比小，則有項比大，從而．
同理，設(shè)排列中有項比小，則有項比大，從而．
因為 與是個不同數(shù)的兩個不同排列，且，所以 ， 從而 ． 所以排列和的生成列也不同．                     8分
（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項，所以 ．                   9分
依題意進行操作，排列變?yōu)榕帕?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020948698780.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)該排列的生成列為．                                                          10分
所以
     ．
所以，新排列的各項滿意指數(shù)之和比原排列的各項滿意指數(shù)之和至少增加．      13分