Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為， 為橢圓的右焦點， ， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為原點， 為橢圓上一點， 的中點為，直線與直線交于點，過且平行于的直線與直線交于點．求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，得， ，解得， ，

所以，即可求出橢圓的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)的中點， ．設(shè)直線的方程為： （），將其代入橢圓方程，整理得，所以，所以．所以直線的斜率是，所以直線的方程是，令，得，直線的方程是，令，得，得直線的斜率是，所以，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證明結(jié)果.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，得， ，

解得， ，

所以，

所以橢圓的方程是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)的中點， ．

設(shè)直線的方程為： （），將其代入橢圓方程，整理得，

所以，

所以， ，即．

所以直線的斜率是，

所以直線的方程是，令，得，

直線的方程是，令，得，

由，得直線的斜率是，所以，記垂足為，

在和 中， 和都與互余，

所以 ．