Question

（2008•黃浦區(qū)一模）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C與BC₁交于O點．
（1）求異面直線AB₁與BC₁所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求證：B₁O⊥平面ABC₁D₁；（3）求二面角B₁-AD₁-O的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：首先分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)題意寫出各點的坐標(biāo)．
（1）求出

AB1

=（0，2a，a），

BC1

=（-a，0，a），再結(jié)合向量之間的運算求出兩個向量夾角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角，
（2）由題意可得B₁C⊥BC₁，AB⊥B₁C，再根據(jù)線面垂直的判斷定理證明線面垂直即可．
（3）分別設(shè)出兩個平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，求出兩個平面的法向量，再根據(jù)兩個向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值，求出答案即可．

解答：解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因為AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C與BC₁交于O點，
所以各點的坐標(biāo)為：A（a，0，0），B₁（a，2a，a），B（a，2a，0），C₁（0，2a，a），D₁（0，0，a），O（

a

2

，2a，

a

2

），
（1）由以上可得：

AB1

=（0，2a，a），

BC1

=（-a，0，a），
所以cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |  | BC1 |

=

10

10

，
所以異面直線AB₁與BC₁所成角的大小為arccos

10

10

．
（2）因為BC=BB₁，
所以B₁C⊥BC₁，
又因為在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
所以AB⊥B₁C，
因為AB∩BC₁=B，BC₁?平面ABC₁D₁，AB?平面ABC₁D₁，
所以B₁C⊥平面ABC₁D₁，即B₁O⊥平面ABC₁D₁，
所以B₁O⊥平面ABC₁D₁．
（3）設(shè)平面B₁AD₁與平面AD₁O的法向量分別為：

v

=(b，c，d)，

n

=(x，y，z)，
由題意可得：

AB1

=（0，2a，a），

AD1

=(-a，0，a)，
所以

v • AB1 =0 v •  AD1 =0

，即

2c+d=0 b=d

，
所以取平面B₁AD₁的法向量

v

=(-1，

1

2

，-1)；
由題意可得：

AO

=(-

a

2

，2a，

a

2

)，

AD1

=(-a，0，a)，
所以

n • AO =0 n • AD1 =0

，即

x-2y-z=0 x=z

，
所以取平面AD₁O的法向量

n

=(1，0，1)，
所以cos＜

n

，

v

＞=

v • n

| v || n |

=-

2 2

3

，
因為二面角B₁-AD₁-O的大小與＜

n

，

v

＞互補(bǔ)，
所以二面角B₁-AD₁-O的余弦值為：

2 2

3

，
所以二面角B₁-AD₁-O的大小為arccos

2 2

3

．

點評：本題考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求二面角的平面角與線線角，解決空間角的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識解決空間角等問題．