Question

過拋物線y²=4x的頂點O作相互垂直的弦OA、OB,求拋物線頂點O在AB上的影射M的軌跡方程.?

Answer 1

解析:設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),代入拋物線方程并作差得k _AB= =,

∴直線AB的方程l _AB:y-y₁= (x-x₁).?

注意到y(tǒng)₁²=4x₁,y₁y₂=-16(∵k _OA·k _OB=-1,?

∴·=-1 =-1y₁y₂=-16),

即得(y₁+y₂)y+16=4x.

又直線OM的方程為y=- x,?

由x²+y²-4x=0(x≠0)即為所求的軌跡方程.

溫馨提示:由(*)消去y₁+y₂所得方程為所求,是因為由(*)解出x、y(用y₁+y₂作已知)得到的是點M的坐標,而點M的坐標的關系式(即消去y₁+y₂得x、y的關系)為動點M的軌跡方程.顯然這樣做與直接過渡其關系式是一樣的.另外本題還可以設OA的斜率為k,類似于上面的方法求M的軌跡方程.