Question

【題目】在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.

（1）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)：

（2）求展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得，解可得，即可得其展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，解可得，將的值代入通項(xiàng)分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，設(shè)其展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為、、、，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為、、、，進(jìn)而令可得：，令可得：，聯(lián)立兩式計(jì)算可得答案．

解：（1）根據(jù)題意，在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，

則，解可得，

則的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，

令，解可得，

則有，即其常數(shù)項(xiàng)為112；

（2）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，通項(xiàng)為，

設(shè)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為、、、，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為、、、，

在中，令可得：，①

令可得：，②

①②可得：．