Question

在△ABC中，

AB

•

AC

=0．
（1）若P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且|

AP

|=2，∠CAP為銳角，

AP

•

AC

=2

AP

•

AB

=2，求|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值．
（2）滿(mǎn)足條件（1）的點(diǎn)P能否在△ABC的邊BC上？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠CAP=α，可得∠BAP=

π

2

-α，結(jié)合

AP

•

AC

=2

AP

•

AB

=2且|

AP

|=2，可得|

AC

|=

1

cosα

，|

AB

|=

1

2sinα

．利用向量模的性質(zhì)，可得|

AB

+

AC

+

AP

|²的表達(dá)式，再利用基本不等式即可算出|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值．
（2）由（1）中|

AC

|=

1

cosα

且|

AB

|=

1

2sinα

，可求出直線(xiàn)AB的方程含有參數(shù)α的形式，再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程加以驗(yàn)證，即可得到結(jié)論是否成立．

解答：解：（1）∵△ABC中，

AB

•

AC

=0，∴

AB

⊥

AC

設(shè)∠CAP=α，α∈（0，

π

2

），則∠BAP=

π

2

-α，
又∵

AP

•

AC

=2

AP

•

AB

=2，|

AP

|=2，
∴|

AP

|•|

AC

|cosα=2|

AP

|•|

AB

|cos（

π

2

-α）=2，可得|

AC

|=

1

cosα

，|

AB

|=

1

2sinα

，
因此，|

AB

+

AC

+

AP

|²=|

AB

|2+|

AC

|2+|

AP

|2+2

AB

•

AC

+2

AP

•AB

+2

AC

•

AP

=

1

4sin2α

+

1

cos2α

+10=

sin2α

cos2α

+

cos2α

4sin2α

+

45

4

≥

49

4

故|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值為

7

2

（2）滿(mǎn)足條件（1）的點(diǎn)P不能在△ABC的邊BC上，理由如下：
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB為x、y軸正方向建立坐標(biāo)系，
由（1）中|

AC

|=

1

cosα

，|

AB

|=

1

2sinα

，
可得直線(xiàn)AB的方程的方程為xcosα+2ysinα=1
又∵|

AP

|=2，∠CAP=α，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2cosα，2sinα），
將P代入AB的方程得2cos²α+4sin²α=2+2sin²α＞1，矛盾
故P點(diǎn)不在△ABC的邊BC上

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量關(guān)系式，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程并討論模的最小值和點(diǎn)P位置等問(wèn)題．著重考查了向量的模、基本不等式和點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．