Question

已知角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，其對邊分別為a，b，c，若m=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，n=(cos

A

2

，sin

A

2

)，a=2

3

，且m•n=

1

2

．
（1）求角A的值．
（2）求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）的求解可由兩向量的數(shù)量積為

1

2

建立方程求解，易求．
（2）求b+c值，因題設條件大都是關(guān)于角的，且僅知道一角的大小，故本題家根據(jù)正弦正理化邊為角，利用三角函數(shù)的公式化簡，再根據(jù)化簡后的結(jié)果定求值的方法，根據(jù)化簡后的形式知曉，最后求范圍時要根據(jù)三角的有界性求解這是三角函數(shù)中求最值時常用的轉(zhuǎn)化方向．

解答：解：（1）m=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，
n=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且m•n=

1

2

．
∴-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即-cosA=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

2π

3

；
（2）由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2 3

sin 2π 3

=4，
又B+C=π-A=

π

3

，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(

π

3

-B)=4sin(B+

π

3

)（8分）
∵0＜B＜

π

3

，則

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

．
則

3

2

＜sin(B+

π

3

)≤1，即b+c的取值范圍是(2

3

，4].（10分）

點評：本題每一小題直接考查公式，易求解，第二小題的求解有一定難度，用到了正弦定理化邊為角，在變形時先用兩角差的正弦公式展開，整理后又用兩角和的公式化簡，最后又根據(jù)角的范圍求解b+c的取值范圍，較繁瑣，充分體現(xiàn)了三角函數(shù)解題的特點，公式眾多變形多．