Question

已知向已知角A、B、C為△ABC的內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a、b、c，若向量

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

，△ABC的面積S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

m

•

n

=

1

2

，然后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到cos

A

2

的值，根據(jù)A的范圍得到

A

2

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，讓其等于

3

，即可求出ab的值，然后利用余弦定理表示出一個(gè)關(guān)系式，把a(bǔ)b的值代入即可求出b+c的值．

解答：解：∵

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

• 

n

=

1

2

，
-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即cos

A

2

=

1

2

，
又0＜A＜π，所以0＜

A

2

＜

π

2

，則

A

2

=

π

3

，
∴A=

2π

3

，
∵S=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

2π

3

=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=12，
∴（b+c）²=16，故b+c=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．