Question

設(shè)S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，T_n為等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積．
（1）求證：數(shù)列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列，并給出更一般的結(jié)論（只要求給出結(jié)論，不必證明）；
（2）若T₁₀=10，T₂₀=20，求T₃₀的值？類比（1）你能得到什么結(jié)論？（只要求給出結(jié)論，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)

2

d，由此能夠證明對(duì)于任意正整數(shù)k，數(shù)列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差數(shù)列．
（2）Tn=b1nq

n(n-1)

2

，由T₁₀=10，T₂₀=20，得b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，得b110=10×5

9

20

，q5=(

1

5

)

1

20

，由此能夠證明數(shù)列T_k，

T2k

Tk

，

T3k

T2k

，…成等比數(shù)列．

解答：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
所以S10=10a1+

10×9

2

d=10a1+45d．
同理S₂₀=20a₁+190d，S₃₀=30a₁+435d．
所以，S₂₀-S₁₀=10a₁+145d，S₃₀-S₂₀=10a₁+245d，
所以，S₁₀+（S₃₀-S₂₀）=20a₁+290d=2（S₂₀-S₁₀），
所以，數(shù)列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列．  …（5分）
∴對(duì)于任意正整數(shù)k，數(shù)列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差數(shù)列．…（7分）
（2）解：∵等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積是T_n，
∴Tn=b1nq

n(n-1)

2

，
∵T₁₀=10，T₂₀=20，∴b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，
∴b110=10×5

9

20

，q5=(

1

5

)

1

20

，
故T30=b130q435=(10×5

9

20

)3×[(

1

5

)

1

20

]87=8．…（12分）
類比（1）能得到結(jié)論：對(duì)于任意正整數(shù)k，數(shù)列T_k，

T2k

Tk

，

T3k

T2k

，…成等比數(shù)列．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算繁瑣，容易失誤．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．