Question

（1）已知直線L過點P（2，1），且與兩坐標(biāo)軸正向圍成三角形的面積為4，求直線L的方程；
（2）已知橢圓C的中心在原點，離心率等于0.8，焦距是8，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出直線L的截距式方程，利用直線L與兩坐標(biāo)軸正向圍成三角形的面積為4以及直線L過點（2，1），就可得到關(guān)于橫縱截距的兩個等式，求出橫縱截距，得到直線L的方程．
（2）根據(jù)橢圓的焦距是8，求出c值，根據(jù)離心率等于0.8求出a的值，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系式求出b的值，再判斷焦點所在坐標(biāo)軸，就可得到橢圓方程．

解答：解：（1）設(shè)直線L方程為：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵直線L過點P（2，1），且與兩坐標(biāo)軸正向圍成三角形的面積為4，
∴

2 a + 1 b =1 1 2 ab=4

∴

a=4 b=2

∴所求直線方程為

x

4

+

y

2

=1
（2）由已知，e=

c

a

=

4

5

，2c=8，
得a=5，c=4，
∴b=3，
當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為：

x2

25

+

y2

9

=1，
當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，橢圓方程為

y2

25

+

x2

9

=1
∴橢圓的方程為：

x2

25

+

y2

9

=1或

y2

25

+

x2

9

=1

點評：本題（1）考查了待定系數(shù)法求直線方程，因為已知直線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積，所以設(shè)直線的截距式計算量較�。�（2）考察了橢圓方程的求法，一定要判斷焦點位置．