Question

如圖在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AD=b，AC₁=c，點M為AB的中點，點N為BC的中點．
（1）求長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；
（2）若a=4，b=2，c=

21

，求異面直線A₁M與B₁N所成的角．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得AC=

a2+b2

，進而可得CC1=

c2-a2-b2

，代入體積公式可得；
（2）取AD的中點E，連A₁E、EM，可證∠EA₁M等于異面直線A₁M與B₁N所成的角或其補角，由余弦定理可得其余弦值，由反三角函數(shù)可得．

解答：解：（1）連AC、AC₁，∵△ABC是直角三角形，∴AC=

a2+b2

．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，∴C₁C⊥BC，C₁C⊥CD，
又DC∩BC=C，∴C₁C⊥平面ABCD，∴C₁C⊥AC．
又在Rt△ACC₁中，AC₁=c，AC=

a2+b2

，∴CC1=

c2-a2-b2

，
∴VABCD-A1B1C1D1=ab

c2-a2-b2

（2）取AD的中點E，連A₁E、EM，
∵EN

∥ .

.

AB

∥ .

.

A1B1，∴四邊形A₁B₁NE為平行四邊形，
∴A₁E∥B₁N，∴∠EA₁M等于異面直線A₁M與B₁N所成的角或其補角．
∵AM=2，AE=1，AA₁=1，得A1M=

5

，A1E=

2

，EM=

5

，
∴cos∠EA1M=

2

2• 5

=

10

10

，∠EA1M=arccos

10

10

．
∴異面直線A₁M與B₁N所成的角等于arccos

10

10

點評：本題考查長方體的體積公式，以及異面直線所成的角，屬中檔題．