Question

過點(diǎn)A（2，1）作曲線f（x）=x³-x的切線的條數(shù)最多是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：設(shè)出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，寫出切線方程把A的坐標(biāo)代入后得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，再利用其導(dǎo)函數(shù)判斷極值點(diǎn)，根據(jù)極值得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的個(gè)數(shù)，從而答案可求．

解答：解：設(shè)設(shè)切點(diǎn)為P（x0，x03-x0），
則f′(x0)=3x02-1，
則切線方程y-x03+x0=(3x02-1)(x-x0)，
代入A（2，1）得，2x03-6x02+3=0．
令y=2x03-6x02+3，則y′=6x02-12x0．
由y′=0，得x₀=0或x₀=2，
且當(dāng)x₀=0時(shí)，y=3＞0，x₀=2時(shí)，y=-5＜0．
所以方程2x03-6x02+3=0有3個(gè)解，
則過點(diǎn)A（2，1）作曲線f（x）=x³-x的切線的條數(shù)是3條．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上點(diǎn)的切線方程，考查了利用函數(shù)的極值點(diǎn)的情況分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是中檔題．