Question

【題目】已知數(shù)列滿足.

（1）若，證明：

（i）當(dāng)時(shí)，有；

（ii）當(dāng)時(shí)，有.

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，有.

Answer 1

【答案】（1）（�。┮�(jiàn)解析；（ⅱ）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

因?yàn)?/span>，

所以，，即數(shù)列為遞增數(shù)列.

（1）（�。┯�及，可得，.

于是，當(dāng)時(shí)，.

故

.

因此，當(dāng)時(shí)，.

（ⅱ）因?yàn)?/span>時(shí)，，

所以，，.

由，可得

.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

.

當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.

假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即，則結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論可得

，

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.

綜合可知，不等式對(duì)一切都成立.

因此，當(dāng)時(shí)，

，

即.

又，，則當(dāng)時(shí)，有

.

（2）由于，而數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，有.

由，可得

.

而，于是，

.

下面證明：當(dāng)時(shí)，有

.

根據(jù)及，計(jì)算得

，，，

.

故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即

.

因?yàn)?/span>，而函數(shù)在時(shí)為增函數(shù)，所以，

，

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.

綜合可知，不等式對(duì)一切都成立.

于是，當(dāng)時(shí)，.

故.

所以，.