Question

已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)也是拋物線的焦點(diǎn)。（1）求橢圓方程；（2）若直線與相交于、兩點(diǎn)，①若,求直線的方程；②若動點(diǎn)滿足，問動點(diǎn)的軌跡能否與橢圓存在公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)，即，據(jù)得，故，

所以所求的橢圓方程是。

   （2）①當(dāng)直線的斜率為時(shí)，檢驗(yàn)知。

設(shè)，根據(jù)得得。

設(shè)直線，代入橢圓方程得，

故，得，

代入得，即，

解得，故直線的方程是。 

②問題等價(jià)于是不是在橢圓上存在點(diǎn)使得成立。

當(dāng)直線是斜率為時(shí)，可以驗(yàn)證不存在這樣的點(diǎn)，

故設(shè)直線方程為。

用①的設(shè)法，點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若點(diǎn)在橢圓上，則，即，

又點(diǎn)在橢圓上，故，

上式即，即，

由①知

，

代入得，解得，即。

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，。

故上存在點(diǎn)使成立，

即動點(diǎn)的軌跡與橢圓存在公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)是。