Question

【題目】橢圓：的左頂點為，右焦點為，上頂點為，下頂點為，若直線與直線的交點為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點為橢圓的長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，證明：為定值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由橢圓的左頂點的坐標(biāo)為，上下頂點的坐標(biāo)為，右焦點為，則直線的方程為，直線的方程為，又因為直線與直線的交點為，把點分別代入直線的方程，解得且，又因為，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．4分

（2）設(shè)的方程為，代入并整理得：，．．．．．6分

設(shè)，則，

又因為，同理．．．．．．．．．．．．．．8分

則，

所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【命題意圖】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，定值問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，綜合分析問題和解決問題的能力及基本運(yùn)算能力．