Question

已知曲線f（x）=x³+x²+x+3在x=-1處的切線恰好與拋物線y=2px²相切，則過該拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長為（　�。�

• A．

  1

  8

• B．

  1

  4

• C．8
• D．4

Answer 1

分析：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)，得到切線方程，從而可求拋物線方程，進(jìn)而求出線段長．

解答：解：∵f（x）=x³+x²+x+3，
∴f′（x）=3x²+2x+1，
∴f′（-1）=2，
由已知可得k=f′（-1）=2，
∵切點為（-1，2），∴切線方程為y-2=2（x+1），即y=2x+4．
設(shè)此直線與拋物線切于點（x₀，2px₀²），
則k=4px₀=2，得px₀=

1

2

，
∵2x₀+4=2px₀²，解得x₀=-4，p=-

1

8

，
∴拋物線的方程為x²=-4y，
其過焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長度為4，
故選D．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，要求過曲線上一點處的切線方程，一般先求出該點的導(dǎo)數(shù)值（斜率），再用點斜式寫出后化簡，同時我們還可以據(jù)此寫出該點處的法線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．考查了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．