Question

已知曲線f（x）=x³+bx²+cx在點A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個極值點為x=0．
（Ⅰ）求實數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f(x)，x∈[-

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，3]的圖象與直線y=m恰有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件在點A，B處的切線互相平行，可得f'（-1）=f'（3），利用f（x）的一個極值點為x=0，得到f'（0）=0，聯(lián)立方程即可求b，c的值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在[-

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，3]上的最值和極值，結(jié)合圖象確定函數(shù)f（x）和y=m的交點情況，從而確定實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在點A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，
∴f'（-1）=f'（3），
即3-2b+c=27+6b+c，整理得8b=-24，解得b=-3．
∵函數(shù)f（x）的一個極值點為x=0．
∴f'（0）=0，即f'（0）=c，解得c=0，
∴實數(shù)b，c的值分別為b=-3，c=0．
（Ⅱ）f（x）=x³+bx²+cx=f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f'（x）=0，解得x=2或x=0，
由f'（x）＞0，解得x＞2或x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，解得＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
當x在[-

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，3]上變化時，f'（x）和f（x）的變化如下：

x	- 1 2	（- 1 2 ，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 7 8	單調(diào)遞增	極大值f（0）=0	單調(diào)遞減	極小值f（2）=-4	單調(diào)遞增	0

∴由表格可知當x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值f（2）=-4，
在x=0時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值f（0）=0．
若函數(shù)y=f(x)，x∈[-

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，3]的圖象與直線y=m恰有三個交點，
則-

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≤m＜0，
即實數(shù)m的取值范圍是[-

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8

，0）．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和極值最值之間的關(guān)系研究函數(shù)的最值和極值，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強．利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法和技巧．