Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+-1．
（1）當a=1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當0＜a≤時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設g（x）=x²-2bx+4，當a=時，若對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，∴f′（x）=
∴f′（1）=0
∵f（1）=-2
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-2；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
求導函數(shù)，f′（x）=-
令f′（x）=0得
當a=時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當0＜a＜時，＞1，
∴在（0，1）和（，+∞）上，有f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
在（1，）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（3）當a=時，=3，f（x）=lnx-+-1
由（2）知，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意x₁∈（0，2），
有f（x₁）≥f（1）=-
對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需當x∈[1，2]時，[g（x）]_max≤即可
所以，所以
所以b≥
所以實數(shù)b的取值范圍是[，+∞）．
分析：（1）求導數(shù)，確定切線的斜率，從而可得f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）分類討論．利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）確定f（x₁）≥f（1）=-，對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需當x∈[1，2]時，[g（x）]_max≤即可，由此可得不等式，從而可求實數(shù)b的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．