Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若恒成立，求實數(shù)的值.

Answer 1

（1）函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值；（2）.

試題分析：本題綜合考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值等數(shù)學(xué)知識和方法，突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力.第一問，將代入，先得到的表達式，注意到定義域中，對求導(dǎo)，根據(jù)，判斷出的單調(diào)增區(qū)間，，判斷出的單調(diào)減區(qū)間，通過單調(diào)性判斷出極值的位置，求出極值；第二問，先將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，所以整個這一問只需證明即可，對求導(dǎo)，由于，所以須討論的正負(fù)，當(dāng)時，，所以判斷出在上為增函數(shù)，但是，所以當(dāng)時，不符合題意，當(dāng)時，判斷出在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，但是，必須證明出，所以再構(gòu)造新函數(shù)，判斷函數(shù)的最值，只有時符合.
試題解析：⑴解:注意到函數(shù)的定義域為,
,
當(dāng)時, ,            2分
若,則;若,則.
所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),
故,
故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值.---5分
⑵解:由⑴知,
當(dāng)時,對恒成立,所以是上的增函數(shù),
注意到,所以時,不合題意.    7分
當(dāng)時,若,;若,.
所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),
故只需.      9分
令,
,
當(dāng)時,; 當(dāng)時,.
所以是上的增函數(shù),是上的減函數(shù).
故當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以當(dāng)且僅當(dāng)時,成立,即為所求.    12分