Question

如圖，在各棱長(zhǎng)均為的三棱柱中，側(cè)面底面，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1)（2）存在點(diǎn)，使，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1)∵側(cè)面底面，作于點(diǎn)，∴平面．

又，且各棱長(zhǎng)都相等，∴，，．                       2分

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，

∴，，．……4分

設(shè)平面的法向量為，則

解得．由．

而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，

∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為          6分

（2）∵，而 

∴

又∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，∴．

∵，為平面的法向量，

∴由，得．        10分

又平面，故存在點(diǎn)，使，其坐標(biāo)為，

即恰好為點(diǎn)．                12分

考點(diǎn)：本題考查了空間中的線(xiàn)面關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用向量在解決立體幾何問(wèn)題主要集中在法向量的應(yīng)用上，它可以證明空間線(xiàn)面的位置關(guān)系、求解空間角、距離.同時(shí)運(yùn)用空間向量解答立體幾何問(wèn)題，淡化了傳統(tǒng)立體幾何中的“形”的推理方法，強(qiáng)化了代數(shù)運(yùn)算，從而降低了思維難度