Question

（2009•崇明縣二模）已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k（k=1，2，3…）是關(guān)于x的方程x²-（4k+2+2^k）x+（2k+1）×2^k+1=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析：（1）先將方程因式分解求出方程兩個(gè)根，即求出a_2k-1與a_2k，然后分別令k=1和2，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）當(dāng)k≤4，即n≤8時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，當(dāng)k≥5，即n≥9時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，然后利用分段函數(shù)表示即可；
（3）當(dāng)k≤4，即n≤8時(shí)，討論n的奇偶，分別進(jìn)行求和，當(dāng)k≥5，即n≥9時(shí)，也討論n的奇偶，分別進(jìn)行求和，求和時(shí)特別注意項(xiàng)數(shù)．

解答：解：（1）由（x-（4k+2））（x-2^k）=0可知方程兩根為4k+2，2^k k=1，a₁=2，a₂=6   k=2，a₃=4，a₄=10
（2）當(dāng)k≤4，即n≤8時(shí)，an=

2 n+1 2 ，n為奇數(shù) 2n+2，n為偶數(shù)

當(dāng)k≥5，即n≥9時(shí)，an=

2n+4，n為奇數(shù) 2 n 2 ，n為偶數(shù)

（3）當(dāng)k≤4，即n≤8時(shí)，an=

2 n+1 2 ，n為奇數(shù) 2n+2，n為偶數(shù)

，
ⅰ）當(dāng)n=2k，k∈N^•為偶數(shù)時(shí)，s_n=

2(1-2k)

1-2

+

k(6+4k+2)

2

=2^k+1-2+2k²+4k=2

n

2

+1-2+

n

2

2+2n
ⅱ）當(dāng)n=2k-1，k∈N^•為奇數(shù)時(shí)，s_n=2

n-1

2

+1-2+

(n-1)

2

2+2(n-1)+2

n+1

2

=2

n+3

2

+

(n-1)

2

2+2n-4
當(dāng)k≥5，即n≥9時(shí)，an=

2n+4，n為奇數(shù) 2 n 2 ，n為偶數(shù)

�。┊�(dāng)n=2k，k∈N^*為偶數(shù)時(shí)，s_n=

2(1-2k)

1-2

+

k(6+4k+2)

2

=2^k+1-2+2k²+4k=2

n

2

+1-2+

n

2

2+2n
ⅱ）當(dāng)n=2k-1，k∈N^•為奇數(shù)時(shí)，s_n=2

n-1

2

+1-2+

(n-1)

2

2+2(n-1)+2n+4=2

n+3

2

+

(n-1)

2

2+4n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解方程，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于綜合題，有一定的難度．