Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=

15

，AA₁=6，E，F(xiàn)分別為AA₁與BC₁的中點．
（1）求證：EF∥底面ABC；
（2）求平面EBC₁與底面ABC所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點D，連AD、DF，結合F為BC₁的中點，可得四邊形EADF為平行四邊形；即可得到EF∥AD，進而求出結論；
（2）取CC₁的中點M，連EM、FM，可以先證得平面EFM∥底面ABC進而得平面EBC₁與底面所成的銳二面角等于平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角；再作MN⊥EF于N，連C₁N，則EF⊥C₁N，∠C₁NM為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角的平面角，通過求其邊長即可求出結論．

解答：解：（1）取BC的中點D，連AD、DF
∵F為BC₁的中點，
∴DF∥CC1∥AE，DF=

1

2

CC1=

1

2

AA1=AE，
∴四邊形EADF為平行四邊形．
∴EF∥AD，又AD在底面ABC上，EF不在底面ABC上
∴EF∥底面ABC．
（2）取CC₁的中點M，連EM、FM，
則EM∥AC，F(xiàn)M∥BC，
即平面EFM內(nèi)的兩條相交直線與底面ABC內(nèi)的兩條相交直線分別平行，
∴平面EFM∥底面ABC．
∴平面EBC₁與底面所成的銳二面角等于平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角．
作MN⊥EF于N，連C₁N，則EF⊥C₁N，∠C₁NM為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角的平面角．
在Rt△EMF中，EM=

15

，MF=

15

2

，EF=

15+ 15 4

=

5 3

2

，
∴MN=

EM•MF

EF

=

3

．又C₁M=3，
∴在△C₁NM中，tan∠C1NM=

C1M

MN

=

3

3

=

3

∴∠C₁NM=60°，
即所求銳二面角的大小為60°．

點評：本題主要考察與二面角有關的立體幾何綜合題．解決問題得關鍵在于把平面EBC₁與底面所成的銳二面角轉化為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角．