Question

已知斜率為

3

的直線l過(guò)點(diǎn)（0，-2

3

）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P，Q，R都在橢圓C上，PQ、PR分別過(guò)點(diǎn)M₁（-1，0）、M₂（1，0），設(shè)

PM1

=λ

M1Q

，

PM2

=μ

M2R

，當(dāng)P點(diǎn)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問λ+μ是否為定值，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)斜式即可得出直線l的方程，令y=0即可得出橢圓的焦點(diǎn)（c），利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，利用準(zhǔn)線方程x=

a2

c

即可得出a，再利用b²=a²-c²即可；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）當(dāng)x₀=x₁=-1時(shí)，ii）當(dāng)x₀=x₂=-1時(shí)，容易得出λ+μ的值為定值；
iii）當(dāng)x₀≠x₁且x₀≠x₂時(shí)，利用向量運(yùn)算及相等可得x₁，y₁與x₀，y₀及λ的關(guān)系，同理得到x₂，y₂與x₀，y₀及μ的關(guān)系，再代入橢圓的方程即可得出．

解答：解：（1）由題意可得直線l：y=

3

x-2

3

，令y=0，解得x=2，∴c=2．
∴橢圓的焦點(diǎn)為（±2，0），
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），
則

y x =- 3 3 y 2 = 3 ( x 2 -2)

，解得x=3，即

a2

c

=3，a²=6，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）當(dāng)x₀=x₁=-1時(shí)，P(-1，

15

3

)，Q(-1，-

15

3

)，xR=-

19

9

，λ+μ=

14

5

ii）同理當(dāng)x₀=x₂=-1時(shí)，λ+μ=

14

5

iii）當(dāng)x₀≠x₁且x₀≠x₂時(shí)，
由題意得

-1-x0=λ(x1+1) -y0=λy1

⇒

x1= -1-x0 λ -1 y1= -y0 λ

代入橢圓方程

( -1-x0 λ -1)2

6

+

( -y0 λ )2

2

=1，即(x0+1+λ)2+3

y

2 0

=6λ2，
又

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，有(x0+1+λ)2+6-

x

2 0

=6λ2，
即5λ²-（2x₀+2）λ+2x₀+7=0（5λ-2x₀-7）（λ-1）=0，λ=

2x0+7

5

同理可得μ=

7-2x0

5

，
∴λ+μ=

14

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)適合題意的方程、向量的運(yùn)算與相等等是解題的關(guān)鍵．