Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-a），a∈R．
（1）若x=6為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，4）處的切線方程；
（3）設(shè)a≥3時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)x=6為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若a=1，求出導(dǎo)函數(shù)值，直接求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，4）處的切線方程；
（3）設(shè)a≥3時(shí)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²（x-a），所以f′（x）=3x²-2ax，
因?yàn)閤=6，為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（6=0），
即3×6²-2a×6=0，解得a=9．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=3x²-2x，f′（2）=3×2²-2×2=8，
所求的切線方程為：y-4=8（x-2），即8x-y-12=0．
（3）當(dāng)a≥3時(shí)，由f′（x）=3x²-2ax=0，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，由f′（x）＜0，得0＜x＜

2a

3

，
因?yàn)閍≥3，所以x₂=

2a

3

≥2，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=8-4a．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的切線方程的求法，最值的求法，考查計(jì)算能力．