Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

（1）建立空間直角坐標系．
則A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
∴

AF

=(-2，1，0)，

CE

=(2，-1，2)．
∴cos＜

AF，

CE

＞=

-4-1

(-2)2+12 • 22+(-1)2+22

=-

5

3

，
故直線EC與AF所成角的余弦值為

5

3

．
（2）平面ABCD的一個法向量為

n1

=(0，0，1)．
設平面AEF的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，
∵

AF

=(-2，1，0)，

AE

=(0，1，2)，∴

-2x+y=0 y+2z=0

，
令x=1，則y=2，z=-1⇒

n2

=(1，2，-1)，
∴cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=|

-1

1+4+1

|=

6

6

．
由圖知二面角E-AF-B為銳二面角，其余弦值為

6

6

．