Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的范圍．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的范圍．
（3）若對(duì)一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是什么？

Answer 1

分析：（1）將f（x）=x²+ax+3代入f（x）≥a，則將當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈R時(shí)，x²+ax+3-a≥0恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即△≤0，求解即可得到a的范圍；
（2）令g（x）=x²+ax+3-a，將當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥a，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間[-2，2]的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，分別求出函數(shù)g（x）的最小值，列出不等式，分別求解出a的取值范圍，最后取并集即可得到a的范圍；
（3）對(duì)一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，轉(zhuǎn)化為求x²+ax+3-a≥0在a∈[-3，3]上恒成立，令h（a）=（x-1）a+x²+3，要使h（a）≥0在[-3，3]上恒成立，只需

h(-3)≥0 h(3)≥0

，求解即可求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0，
要使x∈R時(shí)，x²+ax+3-a≥0恒成立，
應(yīng)有△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，令g（x）=x²+ax+3-a，
當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，
轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥a，
分以下三種情況討論：
①當(dāng)-

a

2

≤-2即a≥4時(shí)，g（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值為g（-2）=7-3a，
∴

a≥4 7-3a≥0

，解得a無解，
②當(dāng) -

a

2

≥2即a≤-4時(shí)，g（x）在[-2，2]上是遞減函數(shù)，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值為g（2）=7+a，
∴

a≤-4 7+a≥0

，解得-7≤a≤-4，
③當(dāng)-2＜-

a

2

＜2即-4＜a＜4時(shí)，g（x）在[-2，2]上的最小值為g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+3，
∴

-4＜a＜4 - a2 4 -a+3≥0

，解得-4＜a≤2，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-7≤a≤2；
（3）不等式f（x）≥a即x²+ax+3-a≥0．
令h（a）=（x-1）a+x²+3，
要使h（a）≥0在[-3，3]上恒成立，
只需

h(-3)≥0 h(3)≥0

，即

x2-3x+6≥0 x2+3x≥0

，
解得x≥0或x≤-3，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥0或x≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮，對(duì)于二次函數(shù)的問題經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．同時(shí)考查了函數(shù)的恒成立問題，對(duì)于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題．屬于中檔題．