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        1. 已知棱長為1的正方體AC1,E、F分別是B1C1、C1D1的中點.
          (1)求證:E、F、D、B共面;
          (2)求點A1到平面的BDEF的距離;
          (3)求直線A1D與平面BDEF所成的角.
          分析:(1)先證BD∥EF,通過EF,BD兩直線共面,得E、F、D、B共面;
          (2)建立空間直角坐標系,求出平面BDEF的一個法向量,點A1到平面的BDEF的距離即為
          DA1
          在法向量方向上投影的絕對值;
          (3)直線A1D與平面BDEF所成的角的θ正弦值等于h與A1D長度的比值.
          解答:解:(1)∵EF∥D1B1,BD∥D1B1,∴BD∥EF,∴EF,BD兩直線共面,E、F、D、B共面
          (2)建立如圖所示的空間直角坐標系.則D(0,0,0)B(1,1,0)E( 
          1
          2
          ,1,1)A1(1,0,1)
          DB
          =(1,1,0),
          DE
          =( 
          1
          2
          ,1,1)設(shè)平面BDEF的一個法向量為
          n
          =(x,y,z)
          DB
          n
          =0
          DE
          n
          =0
          x+y=0
          1
          2
          x+y+z=0
          取x=2得量為
          n
          =(2,-2,1)
          DA1
          =(1,0,1)
          點A1到平面的BDEF的距離即為
          DA1
          在法向量方向上投影的絕對值即h=
          |
          DA1
          n
          |
          |
          n
          |
          =
          3
          9
          =1
          (3)設(shè)直線A1D與平面BDEF所成的角為θ,則sinθ=
          h
          |
          DA1
          |
          =
          1
          3
          2
          =
          2
          6

          θ=arcsin
          2
          6
          點評:本題考查平面的基本性質(zhì),線面角,點面距的計算,考查空間想象、計算能力.利用向量的數(shù)量積可減少思維難度.
          練習(xí)冊系列答案
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          2
          )
          .設(shè)EF與AB所成的角為α,與BC所成的角為β,則α+β的最小值( 。

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          (1)線段A1B上是否存在一點P,使得A1B⊥平面PAC?若存在,確定P點的位置,若不存在,說明理由;
          (2)點P在A1B上,若二面角C-AP-B的大小是arctan2,求BP的長;
          (3)Q點在對角線B1D,使得A1B∥平面QAC,求
          B1QQD

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          已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,O為底ABCD對角線的交點.
          (Ⅰ)求證:A1C⊥平面AB1D1; 
          (Ⅱ)求A1到平面AB1D1的距離.

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          同步練習(xí)冊答案