Question

若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)為數(shù)列，記.

       （Ⅰ）寫(xiě)出一個(gè)E數(shù)列A₅滿(mǎn)足；

       （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；

       （Ⅲ）在的E數(shù)列中，求使得=0成立得n的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具滿(mǎn)足條件的E數(shù)列A₅.

       （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，
—2，0，±1，0，—1，0都是滿(mǎn)足條件的E的數(shù)列A₅）

       （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A₅是遞增數(shù)列，

       所以．

       所以A₅是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列．

       所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011．

       充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

       a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

       ……

       a₂—a₁≤1

       所以a₂₀₀₀—a_t≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999．

       又因?yàn)閍₁=12，a₂₀₀₀=2011,

       所以a₂₀₀₀=a₁+1999．

       故是遞增數(shù)列．

       綜上，結(jié)論得證.

       （Ⅲ）對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列A_k，由于

      

……

……

所以

所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列A_m，若

則必有.

又的E數(shù)列

所以n是最小值是9.