Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（x≠0）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）若f（1）=2，試判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²，f（-x）=f（x），函數(shù)是偶函數(shù)．…
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x²+（x≠0，常數(shù)a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…
∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．…
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，這時(shí)f（x）=x²+．…
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，…
則f（x₁）-f（x₂）==，…
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞，…
所以f（x₁）＜f（x₂），…
故f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．…
分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，要對(duì)a進(jìn)行分類討論．（2）由f（1）=2，確定a的值，然后利用單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性好單調(diào)性的應(yīng)用，要使熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用．