Question

設(shè)f(x)=x+

4

x

，
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（0，2]和[2，+∞）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f(x)=x+

4

x

求出其定義域，判斷是否關(guān)于原點對稱．求出f（-x）的解析式與f（x）的解析式進(jìn)行判斷，得出奇偶性．
（2）在區(qū)間內(nèi)分別設(shè)出x₁＜x₂．求f（x₁）-f（x₂），并化簡為幾個式子乘積或商的形式，根據(jù)給定的區(qū)間進(jìn)行判斷各個式子的符號，然后判斷出最終f（x₁）-f（x₂）的符號．最后得出f（x₁）與f（x₂）的關(guān)系，判斷與x₁ 和x₂之間的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性的定義得出結(jié)論．

解答：解：（1）由f(x)=x+

4

x

知，定義域為{x|x≠0}
顯然，定義域關(guān)于原點對稱．
f(-x)=-x+

4

-x

=-(x+

4

x

)=-f（x）
所以．f（x）為奇函數(shù)
（2）①任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
由題意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因為x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
則x₁-x₂＜0；
0＜x₁x₂＜4，

4

x1x2

＞1，所以1-

4

x1x2

＜0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0
故f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，2]為上的減函數(shù)．
②任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
由題意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因為x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
則x₁-x₂＜0；
x₁x₂＞4，0＜

4

x1x2

＜1，所以1-

4

x1x2

＞0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＜0
故f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在為[2，+∞）上的增函數(shù)．
∴f（x）在（0，2]上為減函數(shù)，[2，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查雙鉤函數(shù)的性質(zhì)，通過雙鉤函數(shù)來考查奇偶性和單調(diào)性通過定義的證明．